10. Дифференцирование функции комплексного переменного.

Пусть однозначная функция w=f(z) определена в некоторой окрестности т. z, включая и саму точку, тогда предел:


Если предел (1) существует, называется производной функции f(z) в т. z, а сама функция f(z) называется дифференцируемой в т. z. В данном равенстве (1) (дельта)z любыми способами стремится к 0. z + (дельта)z -> z по любому из бесконечного множества направлений. Т. к. z состоит из действительной и мнимой части, то x+(дельта)x так же стремиться к x, но только лишь по двум направлениям (слева и справа).

Теорема (условие Коши-Римана). Если функция w=u(x;y) + iv(x;y) определена в некоторой окрестности точки z=x+iy, причем в этой точке действительные функции u(x;y) и v(x;y) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w=f(z) в т. z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства:

Равенства (2) называются условиями Коши-Римана. С учетом условий равенств (2) производную дифференцируемой функции можно находить по формулам:


Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в т. z. Это означает, что если существуют две функции комплексного переменного f1(z) и f2(z), дифференцируемые в некоторой т. z, то верно следующее:







4. Если фи(z) дифференцируема в т. z, а f(w) дифференцируема в т. w=фи(z), то


5. Если в некоторой т. z функция f(z) дифференцируема, то и существует функция f1(w), дифференцируемая в т. w=f(z), причем где f1(w) - функция, обратная функции f(z).