13. Скалярное поле.

Скалярное поле - скалярная функция U=U(M) вместе с областью ее определения.
Характеризуется поверхностью уровня и линиями уровня. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое расположение точек, в которых функция (1).
Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Если в уравнение (1) подставим разное значение const, то получим различные поверхности уровня, которые как бы расслаивают поля.
Уравнение поверхности уровня можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (1).

Поверхностью уровня данного уравнения является множество сфер.

При с=1 получим , то есть сфера стягивается в точку.
В случае плоского поля равенство (1) будет выглядеть = с. Данное поле представляет собой линии поля, то есть линии уровня поля на плоскости, в точках которых функция сохраняет линии уровня.
Для характеристики скорости изменения поля в заданном направлении введем понятие производной по направлению. Производной по направлению в точке M по направлению называется предел:



Производная по направлению характеризует скорость изменения функции по этому направлению. Если > 0, то функция возрастает в направлении ; если < 0, то функция убывает.
Модуль представляет мгновенную скорость в точке M по направлению . Чем больше этот модуль, тем быстрее изменяется функция - в этом физический смысл производной по направлению.