17. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда.

Числовые ряды - выражение типа

(1)

- члены ряда, - общий член ряда.
Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.


- называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.


Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.

Свойства рядов:
1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд . (с - const)

2) Если ряд (1) сходится и ряд сходится, то сходится.

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно.

Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .
Если не выполняется, то расходится.

Достаточное условие расходимости ряда: если предел или этот предел не существует, то ряд расходится.
Необходимый признак сходимости ряда недостаточен для сходимости, поскольку существуют ряды, которые расходятся, но необходимый признак сходимости для них выполняется.