23. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется ряд вида:
(1)
a0, a1, a2, … - постоянные числа (действительные или комплексные) называются коэффициентами ряда (1), x - переменная степенного ряда.

Рассматриваем так же степенной ряд:
(2)

Ряд (2) приводится к ряду (1), если положить y=x-a, поэтому ограничимся степенными рядами вида (1).

Область сходимости степенного ряда:
Совокупность числовых значений аргумента x при которых ряд сходится называется его областью сходимости.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится в каждой точке x, для которой |x|<|x0|.
Следствие. Если ряд (1) расходится при х=х1, то он расходится и при всех х, для которых |x|>|x1|.