27. Разложение функции в ряд Фурье.

Достаточным условием разложимости функции в ряд Фурье является теорема Дирихле.
Пусть 2П - периодическая функция f(x) на отрезке [-П;П] удовлетворяет двум условиям:

1) f(x) - кусочно непрерывная, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода;
2) f(x) - кусочно монотонная, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией f(x), S(x) = f(x);
2. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна S(x) = (f(x-0)+f(x+0))/2, то есть равна среднему арифметическому слева и справа.
3. В точках x=-П; x=+П сумма ряда равна S(-П) = S(+П) = (f(-П+0)+f(П-0))/2.