9. Функции комплексного переменного. Основные понятия.

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа
Z=x+iy (Z прин. D)
W=U+iV (W прин. E)
И будем изображать точками на плоскости:

Если каждому числу (точке) Z прин. D по некоторому правилу поставлено в соответствие число (точка) W прин. Е, то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного W=f(z), отображающая множество D в множестве E.
Например, Z=2+3i; W=Z^2 -> W=(2+3i)^2
Если каждому Z прин. D соответствует много значений W, то функция W=f(Z) называется многозначной. Множество D называется областью определения функции W=f(Z). Множество E всех значений W=f(z) называется областью значений этой функции. Будем рассматривать множества D и E как области. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.
W=U+iV=f(x+iy)=U(x;y)+iV(x;y)
Функция u(x;y) называется действительной функций комплексного переменного. Функция V(x;y) называется мнимой. Таким образом задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций с действительной и мнимой частью.

Тригонометрическая:


Показательная: